Catégorie > Physique chimie et Mathématique

Qu'est-ce qu'une matrice orthonormale?

Posté par Helper le 08/12/2019 à 13:51:43

Une matrice orthogonale est une matrice carrée avec des entrées réelles dont les colonnes et les lignes sont des vecteurs unitaires orthogonaux ou des vecteurs orthonormaux. De même, une matrice Q est orthogonale si sa transposition est égale à son inverse.

Une matrice orthogonale Q est nécessairement carrée et inversible inverse Q -1 = Q T . En tant que transformation linéaire, une matrice orthogonale préserve le produit scalaire des vecteurs et agit donc comme une isométrie de l'espace euclidien. En d'autres termes, c'est une transformation unitaire.

L'ensemble des n × n matrices orthogonales forme un groupe O (n), dit groupe orthogonal. Le sous-groupe SO (n), composé de matrices orthogonales avec déterminant +1, est appelé groupe orthogonal spécial, et chacun de ses éléments est une matrice orthogonale spéciale. En tant que transformation linéaire, chaque matrice orthogonale spéciale agit comme une rotation.

Les exemples les plus courants de matrices orthogonales sont les rotations et les réflexions. Les deux sont importants pour développer des méthodes numériques. Le fait que les matrices orthogonales ne changent pas les longueurs des vecteurs les rend très souhaitables dans les applications numériques car elles n'augmentent pas significativement les erreurs d'arrondi. Ils sont donc privilégiés pour les algorithmes stables. Ils sont particulièrement importants pour les méthodes de valeurs propres pour les matrices symétriques car elles produisent des transformations de similarité qui préservent la propriété symétrique.



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