Calculs détaillés des applications injectives, surjectives
Posté par Fadouba, mise à jour le 15/10/2023 à 12:43:29
Calculs détaillés des applications injectives, surjectivesPosté par Termita
Lorsque vous parlez d'applications injectives (aussi appelées "injections") et surjectives (aussi appelées "surjections") en mathématiques, vous faites référence à des propriétés des fonctions. Voici une explication détaillée de ces concepts :Application Injective (Injection)
Une application est dite injective si, pour chaque élément de l'ensemble de départ (appelé domaine), il existe un élément unique dans l'ensemble d'arrivée (appelé codomaine) qui lui est associé. En d'autres termes, deux éléments différents du domaine ne peuvent pas être associés au même élément du codomaine.
La façon formelle d'exprimer cela est la suivante : Soit f : A → B une fonction de l'ensemble A dans l'ensemble B. Cette fonction f est injective si, pour tout x1 et x2 dans A, si f(x1) = f(x2), alors x1 = x2.
En d'autres termes, si deux éléments de l'ensemble de départ sont associés au même élément de l'ensemble d'arrivée, alors ces deux éléments de départ doivent être identiques.
Application Surjective (Surjection)
Une application est dite surjective si, pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée (le codomaine), il existe au moins un élément dans l'ensemble de départ (le domaine) qui lui est associé. Autrement dit, l'application couvre tout le codomaine, de sorte qu'il n'y a pas d'éléments du codomaine qui n'ont pas de pré-image.
La façon formelle d'exprimer cela est la suivante : Soit f : A → B une fonction de l'ensemble A dans l'ensemble B. Cette fonction f est surjective si, pour tout y dans B, il existe au moins un x dans A tel que f(x) = y.
En d'autres termes, l'image de la fonction couvre tout l'ensemble d'arrivée, et il n'y a pas d'éléments du codomaine qui restent non couverts.
Exemples
Application Injective : La fonction f(x) = 2x est une application injective de l'ensemble des réels (domaine) dans lui-même (codomaine). Deux valeurs différentes de x donneront toujours des valeurs différentes de f(x).
Application Surjective : La fonction g(x) = x^2 est une application surjective de l'ensemble des réels (domaine) dans l'ensemble des réels non négatifs (codomaine). Tout nombre réel non négatif a au moins une pré-image dans le domaine.
Il est également possible d'avoir des fonctions qui sont à la fois injectives et surjectives, et on les appelle alors "bijectives". Les fonctions bijectives ont l'unique propriété que chaque élément du domaine est associé à un élément unique du codomaine, et chaque élément du codomaine a au moins une pré-image dans le domaine.
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