Est-il possible que, dans le nouveau millénaire, la méthode mathématique ne soit plus fondamentale en philosophie ?
Posté par camille, mise à jour le 14/10/2021 à 20:19:26
Lorsque René Descartes a 31 ans, en 1627, il commence à rédiger un manifeste sur les bonnes manières de philosopher. Il choisit le titre Regulae ad Directionem Ingenii , ou Règles pour la direction de l'esprit.. C'est un travail curieux. Descartes avait initialement l'intention de présenter 36 règles divisées également en trois parties, mais le manuscrit se termine au milieu de la deuxième partie. Chaque règle devait être énoncée en une ou deux phrases suivies d'une longue élaboration. La première règle nous dit que « La fin de l'étude devrait être d'orienter l'esprit vers une énonciation de jugements sains et corrects sur toutes les questions qui lui sont soumises », et la troisième règle nous dit que « Nos enquêtes devraient être dirigées, non vers ce que d'autres ont pensé… mais à ce que nous pouvons clairement et perspicacement voir et avec certitude déduire.' La règle quatre nous dit qu'il faut une méthode pour découvrir la vérité.Mais bientôt le manuscrit prend une tournure mathématique inattendue. Les diagrammes et les calculs s'enchaînent. La règle 19 nous informe qu'une bonne application de la méthode philosophique nous oblige à « découvrir autant de grandeurs que nous avons de termes inconnus, traités comme s'ils étaient connus ». Cela « nous donnera autant d'équations qu'il y a d'inconnues ». La règle 20 nous dit que, « ayant nos équations, nous devons procéder aux opérations que nous avons négligées, en prenant soin de ne jamais multiplier là où nous pouvons diviser ». Lire les Règles, c'est comme s'asseoir pour lire une introduction à la philosophie et se retrouver, une heure plus tard, au milieu d'un manuel d'algèbre.
Le tournant se produit autour de la règle 14. Selon Descartes, la philosophie consiste à découvrir des vérités générales en trouvant des propriétés partagées par des objets disparates, afin de comprendre les traits qu'ils ont en commun. Cela nécessite de comparer les degrés auxquels les propriétés se produisent. Une propriété qui admet des degrés est, par définition, une grandeur. Et, depuis l'époque des Grecs anciens, les mathématiques étaient comprises comme n'étant ni plus ni moins que la science des grandeurs. (Il a été pris pour englober à la fois l'étude des grandeurs discrètes, c'est-à-dire des choses qui peuvent être comptées, ainsi que l'étude des grandeurs continues, qui sont des choses qui peuvent être représentées comme des longueurs.) La philosophie est donc l'étude des choses qui peut être représenté en termes mathématiques, et la méthode philosophique devient pratiquement indiscernable de la méthode mathématique.
Des indications similaires sur la relation entre la philosophie et les mathématiques peuvent être trouvées dans l'Antiquité, par exemple dans le dicton de Pythagore selon lequel « tout est nombre ». La découverte pythagoricienne que la racine carrée de deux est irrationnelle a annoncé la naissance de la philosophie occidentale en découvrant une limite fondamentale dans une approche pour quantifier nos expériences et en ouvrant la porte à une conception plus riche de la mesure et du nombre. La nature du continuum – les grandeurs continues qui sont utilisées pour modéliser le temps et l'espace – ont été depuis une source d'interaction fructueuse entre les philosophes et les mathématiciens. Platon tenait les mathématiques en grande estime et soutenait que, dans un état idéal, tous les citoyens, des gardiens aux rois philosophes, seraient formés à l'arithmétique et à la géométrie. DansLa République , son protagoniste Socrate soutient que les mathématiques « ont un effet très grand et élève », et que leurs abstractions « attirent l'esprit vers la vérité et créent l'esprit de la philosophie ».
Galilée, un contemporain de Descartes, a également brouillé la distinction entre méthode mathématique et méthode philosophique. Un extrait de son essai ' Il Saggiatore ' (1623), ou The Assayer , est souvent cité pour avoir avancé une mathématisation révolutionnaire de la physique :
La philosophie est écrite dans ce grand livre – je veux dire l'Univers – qui se tient continuellement ouvert à notre regard, mais elle ne peut être comprise que si l'on apprend d'abord à comprendre la langue et à interpréter les caractères dans lesquels elle est écrite. Il est écrit dans le langage des mathématiques, et ses caractères sont des triangles, des cercles et d'autres figures géométriques, sans lesquels il est humainement impossible d'en comprendre un seul mot ; sans ceux-ci, on erre dans un labyrinthe sombre.
Dans cette citation, c'est la philosophie qui est écrite dans le langage des mathématiques. Ce n'est pas une simple coïncidence linguistique si le développement monumental d'Isaac Newton sur le calcul et la physique moderne a été intitulé Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), c'est-à-dire Principes mathématiques de la philosophie naturelle . Le but de la philosophie est de comprendre le monde et notre place dans celui-ci, et de déterminer les méthodes appropriées à cette tâche. La physique, ou philosophie naturelle, faisait partie de ce projet, et Descartes, Galilée et Newton – et les philosophes d'avant et d'après – étaient très attentifs au rôle que les mathématiques devaient jouer.
Gottfried Leibniz, une autre figure imposante du XVIIe siècle dans les mathématiques et la philosophie, était également intéressé par l'établissement d'une méthode appropriée. En 1677, il écrit :
La vraie Méthode prise dans toute sa portée est à mon sens une chose tout à fait inconnue jusqu'ici, et elle n'a été pratiquée qu'en mathématiques.
Auparavant, dans sa thèse de doctorat de 1666, il s'était fixé pour objectif de développer un langage symbolique capable d'exprimer n'importe quelle pensée rationnelle, et un calcul symbolique suffisamment puissant pour décider de la vérité d'une telle déclaration. Cette noble proposition a servi de cri de ralliement pour le domaine de la logique symbolique des siècles plus tard. Mais Leibniz a précisé que l'application de la méthode ne se limite pas aux mathématiques :
Si ceux qui ont cultivé les autres sciences avaient imité les mathématiciens… nous aurions depuis longtemps une Métaphysique sûre, ainsi qu'une éthique dépendant de la Métaphysique puisque celle-ci inclut la sorte de connaissance de Dieu et de l'âme qui doit régir notre vie.
Ici, les mathématiques fondent non seulement la science, mais aussi l'éthique, la métaphysique et la connaissance de Dieu et de l'âme. Les approches mathématiques adoptées par Descartes, Galilée, Newton et Leibniz ont été des avancées philosophiques majeures, et cela contribue à expliquer la fascination de longue date des philosophes pour les mathématiques : comprendre nos capacités de pensée mathématique est une partie importante de la compréhension de nos capacités à penser philosophiquement.
Ta philosophie des mathématiques a atteint son apogée au milieu du 20e siècle, portée par les succès des décennies précédentes en logique mathématique. Les logiciens avaient enfin commencé à tenir la promesse de Leibniz d'un calcul de la pensée, en développant des systèmes d'axiomes et de règles suffisamment expressifs pour rendre compte de la grande majorité de l'argumentation mathématique. Parmi les différentes bases mathématiques proposées, celle connue sous le nom de théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel s'est avérée particulièrement robuste. Il fournit des encodages naturels et efficaces d'arguments mathématiques ordinaires, soutenus par des constructions logiques de base et des axiomes qui décrivent des entités mathématiques abstraites appelées ensembles. La théorie des ensembles fournit une description convaincante de la pratique mathématique en termes d'un petit nombre de concepts et de règles fondamentaux. Dans les années 1930, le logicien autrichien Kurt Gödel a prouvé des résultats importants connus sous le nom de théorèmes d'incomplétude, qui identifient les limites inhérentes à la capacité de la méthode axiomatique à régler toutes les vérités mathématiques. Via la modélisation mathématique de la pratique mathématique elle-même, la logique nous a donc rendu compte clairement de la nature et de l'étendue du raisonnement mathématique.
La logique a également apporté des progrès philosophiques sur d'autres fronts, tels que la nature de la vérité. Dans les années 1930, le logicien polonais Alfred Tarski a proposé une analyse mathématique de la vérité, fournissant à nouveau une explication positive tout en identifiant les limites inhérentes à son champ d'application. Les années 1930 ont également apporté une analyse mathématique claire de la notion de calculabilité. Cela a fourni une analyse convaincante de la nature des types de méthodes algorithmiques recherchées par Descartes et Leibniz, tout en découvrant une fois de plus les limites.
Ces théories étaient essentiellement mathématiques, énoncées dans le style du mathématicien de présentation des définitions, des théorèmes et des preuves. Mais ils étaient également motivés et informés par un débat philosophique et considérés comme dignes d'un examen philosophique. Comme au XVIIe siècle, la frontière entre les mathématiques et la philosophie n'était pas nette et il était difficile de nier que des progrès importants avaient été réalisés. Tant les résultats positifs que les résultats négatifs et limitatifs ont été précieux : avoir une compréhension claire de ce qu'une approche méthodologique particulière peut et ne peut pas accomplir sert à focaliser l'enquête et à suggérer de nouvelles voies de recherche.
La vérité d'un énoncé mathématique ne repose pas sur le contexte historique ou les circonstances de l'orateur
Les succès ont été si frappants que, pendant un certain temps, il a semblé que toutes les autres branches de la philosophie voulaient être comme la philosophie des mathématiques. Les philosophes des sciences ont importé le vocabulaire du logicien pour parler des théories mathématiques, de sorte qu'une théorie scientifique était comprise comme quelque chose comme une théorie mathématique complétée par des prédicats d'observation supplémentaires qui ont servi à les connecter au monde empirique. Il était si courant pour les articles de philosophie des sciences de commencer une analyse par l'expression « que T soit une théorie » que le philosophe contemporain Mark Wilson a qualifié ce style de philosophie de « syndrome de la théorie T ».
De la même manière, les philosophes du langage ont importé des notions de sens, de référence et de vérité de l'étude des mathématiques par le logicien. Malgré toute la complexité du sujet, la structure du langage mathématique est d'une simplicité désarmante. Il n'y a pas de modes ou de temps, car les mathématiciens ne s'inquiètent généralement pas du moment où sept est devenu un nombre impair et de ce que le monde aurait été s'il avait été pair. La vérité d'un énoncé mathématique ne repose pas sur le contexte historique ou les circonstances du locuteur, et les normes de communication des mathématiques sont assez stables, sans présuppositions ni implicatures subtiles. Ainsi, une stratégie prometteuse pour les linguistes et les philosophes du langage était de commencer par la modélisation du langage mathématique, où la mécanique est plus facilement comprise,
Les philosophes de l'esprit ont quant à eux importé un échafaudage logique dans l'étude des attitudes propositionnelles . En gros, si nous sommes capables de savoir quelque chose, de croire quelque chose, de douter de quelque chose ou de souhaiter quelque chose, alors cette chose doit être une sorte d'entité accessible à la pensée, peut-être via une sorte de représentation mentale. De telles représentations, telles qu'elles ont été traitées dans la littérature, avaient beaucoup en commun avec les représentations symboliques utilisées pour représenter des définitions et des assertions mathématiques.
Des sujets philosophiques tels que ceux-ci gravitaient autour de la philosophie des mathématiques, tirant la chaleur et la lumière du compte logique de la pratique mathématique. Les succès de la philosophie des mathématiques ont offert des exemples frappants de ce que la philosophie pouvait accomplir. Mais aujourd'hui, le sujet a perdu de son lustre, et n'a plus la même force gravitationnelle. Qu'est ce qui ne s'est pas bien passé?
jeEn partie, la philosophie des mathématiques a été victime de son propre succès. Pour un sujet traditionnellement concerné par la détermination des fondements appropriés de la connaissance mathématique, la logique moderne offrait un exposé si net de la preuve mathématique qu'il n'y avait presque plus rien à faire. Sauf, peut-être, une petite chose : si les mathématiques se résument à un raisonnement déductif utilisant les axiomes et les règles de la théorie des ensembles, alors pour fonder le sujet, tout ce que nous avons à faire est de comprendre quelle sorte d'ensembles d'entités sont, comment nous pouvons savoir des choses sur eux, et pourquoi ce type particulier de connaissance nous dit quelque chose d'utile sur le monde. De telles questions sur la nature des objets abstraits ont donc été au centre de la philosophie des mathématiques du milieu du 20e siècle à nos jours.
Dans d'autres branches de la philosophie, où aucune histoire précise n'était disponible, les philosophes ont dû faire face à la nature intrinsèquement désordonnée du langage, de la science et de la pensée. Cela les a obligés à faire face à de graves problèmes méthodologiques. À partir des années 1950, les philosophes du langage se sont engagés avec des linguistes pour donner un sens à la révolution chomskyenne en pensant à la structure du langage et aux capacités humaines de compréhension et de génération de la parole. Les philosophes de l'esprit ont interagi avec des psychologues et des informaticiens pour forger la science cognitive, la nouvelle science de l'esprit. Les philosophes de la biologie étaient aux prises avec des problèmes méthodologiques liés à l'évolution et au domaine en plein essor de la génétique, et les philosophes de la physique s'inquiétaient de la cohérence des hypothèses fondamentales de la mécanique quantique et de la relativité générale. Pendant ce temps,
Cette fixation n'était pas saine. Cela n'a presque rien à voir avec la pratique mathématique quotidienne, car les mathématiciens ne doutent généralement pas que ce qu'ils font soit significatif et utile - et, quoi qu'il en soit, la philosophie a eu peu de réconfort à offrir à cet égard. Il s'avère qu'il n'y a tout simplement pas beaucoup de choses intéressantes à dire sur les objets mathématiques abstraits en eux-mêmes. Dans la mesure où il est possible de fournir une justification convaincante pour faire des mathématiques comme nous le faisons, cela ne viendra pas de faire des déclarations générales, mais plutôt d'entreprendre une étude minutieuse des objectifs et des méthodes du sujet et d'explorer dans quelle mesure les méthodes sont adapté aux objectifs.
Le problème est que l'idéalisation ensembliste idéalise trop. La pensée mathématique est désordonnée. Lorsque nous creusons sous la surface soigneusement composée, nous trouvons une grande confusion d'idées bourdonnante et florissante, et nous avons beaucoup à apprendre sur la façon dont les mathématiques canalisent ces sources de créativité dans un discours scientifique rigoureux. Mais cela nécessite de travailler dur et de se salir les mains. Ainsi, l'appel des sirènes est agréable et séduisant : les mathématiques, c'est la théorie des ensembles ! Racontez-nous simplement une très bonne histoire sur les objets abstraits, et les secrets de l'Univers seront dévoilés. Ce chant de sirène a asservi la philosophie des mathématiques, la laissant dériver vers les rivages rocheux.
La focalisation étroite du domaine sur la logique suggère une autre explication à son déclin. Étant donné que la philosophie des mathématiques a été étroitement alignée sur la logique au cours du siècle dernier environ, on pourrait s'attendre à ce que les fortunes des deux matières montent et descendent en tandem. Au cours de cette période, la logique est devenue une branche des mathématiques à part entière, et en 1966, Paul Cohen a remporté une médaille Fields, le prix le plus prestigieux en mathématiques, pour avoir résolu deux problèmes ouverts de longue date en théorie des ensembles. Mais il n'y a pas eu d'autre médaille Fields en logique depuis, et bien que le sujet bénéficie de certaines interactions avec d'autres branches des mathématiques, il n'a pas trouvé sa place dans le courant mathématique dominant.
Bon nombre des préoccupations traditionnelles de la philosophie concernant le langage, la connaissance et la pensée trouvent maintenant leur place dans l'informatique, où l'objectif est de concevoir des systèmes qui imitent ces facultés. Si le but du philosophe est de clarifier les concepts et de consolider les fondements, et que le but du scientifique est de rassembler des données et d'affiner les modèles, alors l'informaticien vise à mettre en œuvre les découvertes et à les utiliser à bon escient. Idéalement, l'information devrait circuler dans les deux sens, la compréhension philosophique informant la mise en œuvre et les résultats pratiques, et les défis informant l'étude philosophique. Il est donc logique de considérer le rôle que la logique a également joué en informatique.
À partir du milieu des années 1950, les sciences cognitives et l'intelligence artificielle (IA) ont été dominées par ce que le philosophe américain de l'esprit John Haugeland a surnommé GOFAI –« bonne IA à l'ancienne » : une approche qui s'appuie sur des représentations symboliques et des algorithmes logiques pour produire un comportement intelligent. Une approche concurrente, dont les origines remontent aux années 1940, intègre des réseaux de neurones, un modèle informatique dont l'état est codé par la force d'activation d'un très grand nombre de processeurs simples connectés entre eux comme des neurones dans le cerveau. Les premières décennies de l'IA étaient dominées par l'approche logique, mais dans les années 1980, les chercheurs ont démontré que les réseaux de neurones pouvaient être entraînés à reconnaître des modèles et à classer les images sans algorithme manifeste ni codage de caractéristiques qui expliqueraient ou justifieraient la décision. Cela a donné naissance au domaine de l'apprentissage automatique. Les améliorations apportées aux méthodes et l'augmentation de la puissance de calcul ont donné lieu à un grand succès et à une croissance explosive au cours des dernières années. En 2017, un système connu sous le nom d'AlphaGo s'est entraîné à jouer suffisamment bien au jeu de stratégie Go pour balayer le joueur de Go le mieux classé au monde dans un match de trois matchs. L'approche, connue sous le nom d'apprentissage en profondeur, fait maintenant fureur.
La logique a également perdu du terrain dans d'autres branches du raisonnement automatisé. Les méthodes basées sur la logique n'ont pas encore donné de succès substantiels dans l'automatisation de la pratique mathématique, alors que les méthodes statistiques pour tirer des conclusions, en particulier celles adaptées à l'analyse d'ensembles de données extrêmement volumineux, sont très prisées dans l'industrie et la finance. Les approches informatiques de la linguistique impliquaient autrefois de cartographier la structure grammaticale du langage, puis de concevoir des algorithmes pour analyser les énoncés jusqu'à leur forme logique. De nos jours, cependant, le traitement du langage est généralement une question de méthodes statistiques et d'apprentissage automatique, qui sous-tendent nos interactions quotidiennes avec Siri et Alexa.
La structure du langage est intrinsèquement amorphe. Les concepts ont des limites floues
En 1994, l'ingénieur électricien et informaticien Lotfi Zadeh de l'Université de Californie à Berkeley a utilisé l'expression « informatique douce » pour décrire de telles approches. Alors que les mathématiques cherchent des réponses précises et certaines, les obtenir dans la vie réelle est souvent insoluble ou carrément impossible. Dans de telles circonstances, ce que nous voulons vraiment, ce sont des algorithmes qui renvoient des approximations raisonnables aux bonnes réponses de manière efficace et fiable. Les modèles du monde réel ont également tendance à s'appuyer sur des hypothèses qui sont intrinsèquement incertaines et imprécises, et notre logiciel doit gérer cette incertitude et cette imprécision de manière robuste.
De nombreux objets d'étude centraux de la philosophie – langage, cognition, connaissance et inférence – sont souples dans ce sens. La structure du langage est intrinsèquement amorphe. Les concepts ont des limites floues. Les preuves d'une théorie scientifique sont rarement définitives, mais soutiennent plutôt les hypothèses à des degrés divers. Si les modèles scientifiques appropriés dans ces domaines nécessitent des approches douces plutôt que des descriptions mathématiques précises, la philosophie devrait en tenir compte. Nous devons considérer la possibilité que, dans le nouveau millénaire, la méthode mathématique ne soit plus fondamentale pour la philosophie.
Mais l'essor des méthodes douces ne signifie pas la fin de la logique. Nos conversations avec Siri et Alexa, par exemple, ne sont jamais très profondes, et il est raisonnable de penser que des interactions plus substantielles nécessiteront des représentations plus précises sous le capot. Dans un article paru dans le New Yorker en 2012, le scientifique cognitif Gary Marcus a fourni l'évaluation suivante:
En réalité, l'apprentissage en profondeur n'est qu'une partie du défi plus vaste de la construction de machines intelligentes. Ces techniques manquent de moyens de représenter les relations causales (comme entre les maladies et leurs symptômes) et sont susceptibles de rencontrer des difficultés pour acquérir des idées abstraites comme « frère » ou « identique à ». Ils n'ont pas de moyens évidents d'effectuer des inférences logiques, et ils sont également encore loin d'intégrer des connaissances abstraites, telles que des informations sur ce que sont les objets, à quoi ils servent et comment ils sont généralement utilisés.
À certaines fins, les méthodes douces sont manifestement inappropriées. Si vous allez en ligne pour modifier une réservation de compagnie aérienne, le système doit suivre les politiques applicables et débiter votre carte de crédit en conséquence, et toute imprécision est injustifiée. Les programmes informatiques eux-mêmes sont des artefacts précis, et la question de savoir si un programme répond à une spécification de conception est assez précise. Obtenir la bonne réponse est particulièrement important lorsque ce logiciel est utilisé pour contrôler un avion, un réacteur nucléaire ou un site de lancement de missiles. Même les méthodes douces font parfois appel à un élément de dureté. En 2017, l'expert en IA Manuela Veloso de l'Université Carnegie Mellon de Pittsburgh a été citée dans les Communications de l'ACM , localisant la faiblesse des systèmes d'IA contemporains dans le manque de transparence :
Ils doivent s'expliquer : pourquoi ont-ils fait ceci, pourquoi ont-ils fait cela, pourquoi ont-ils détecté ceci, pourquoi ont-ils recommandé cela ? La responsabilité est absolument nécessaire.
La question n'est donc pas de savoir si l'acquisition de connaissances est intrinsèquement difficile ou douce, mais plutôt de savoir où chaque type de connaissances est approprié et comment les deux approches peuvent être combinées. Leslie Valiant, lauréate du célèbre prix Turing en informatique, a observé :
Une question fondamentale pour l'intelligence artificielle est de caractériser les briques de calcul nécessaires à la cognition. Un défi spécifique est de s'appuyer sur le succès de l'apprentissage automatique afin de couvrir des problèmes plus larges en matière d'intelligence. Cela nécessite notamment une réconciliation entre deux caractéristiques contradictoires – la nature logique apparente du raisonnement et la nature statistique de l'apprentissage.
Donne-nous la sérénité d'accepter les choses que nous ne pouvons pas comprendre, le courage d'analyser les choses que nous pouvons et la sagesse de connaître la différence
Qu'en est-il du rôle de la pensée mathématique, au-delà de la logique, dans notre compréhension philosophique ? L'influence des mathématiques sur la science, qui n'a fait qu'augmenter avec le temps, est révélatrice. Même les approches douces pour acquérir des connaissances sont fondées sur les mathématiques. Les statistiques sont construites sur une base de probabilité mathématique, et les réseaux de neurones sont des modèles mathématiques dont les propriétés sont analysées et décrites en termes mathématiques. Certes, les méthodes font appel à des représentations différentes des représentations conventionnelles de la connaissance mathématique. Mais nous utilisons les mathématiques pour donner un sens aux méthodes et comprendre ce qu'elles font.
Les mathématiques ont fait preuve d'une remarquable résilience lorsqu'il s'agit de s'adapter aux besoins des sciences et de relever les défis conceptuels qu'elles génèrent. Le monde est incertain, mais les mathématiques nous donnent la théorie des probabilités et des statistiques pour y faire face. Newton a résolu le problème du calcul du mouvement de deux corps en orbite, mais s'est vite rendu compte que le problème de la prédiction du mouvement de trois corps en orbite est insoluble informatiquement. (Son contemporain John Machin a rapporté que " la tête de Newton n'avait jamais fait mal sauf avec son étude sur la Lune ".) En réponse, la théorie moderne des systèmes dynamiques fournit un langage et un cadre pour établir les propriétés qualitatives de tels systèmes, même face à l'intransigeance informatique. . A l'extrême, de tels systèmes peuvent présenter descomportement, mais encore une fois, les mathématiques nous aident à comprendre comment et quand cela se produit. Les artefacts naturels et conçus peuvent impliquer des réseaux complexes d'interactions, mais les méthodes combinatoires en mathématiques fournissent des moyens d'analyser et de comprendre leur comportement.
Les mathématiques ont donc persévéré pendant des siècles face à l'intransigeance, à l'incertitude, à l'imprévisibilité et à la complexité, élaborant des concepts et des méthodes qui repoussent les limites de ce que nous pouvons savoir avec rigueur et précision. Dans les années 1930, le théologien américain Reinhold Niebuhr a demandé à Dieu de nous accorder la sérénité d'accepter les choses que nous ne pouvons pas changer, le courage de changer les choses que nous pouvons et la sagesse de connaître la différence. Mais pour donner un sens au monde, ce dont nous avons vraiment besoin, c'est de la sérénité d'accepter les choses que nous ne pouvons pas comprendre , du courage d'analyser les choses que nous pouvons et de la sagesse de connaître la différence. Lorsqu'il s'agit d'évaluer nos moyens d'acquérir des connaissances et de repousser les limites de l'intelligibilité, nous devons nous tourner vers la philosophie pour nous guider.
Les grandes avancées conceptuelles en mathématiques sont souvent attribuées à des accès de génie et d'inspiration, sur lesquels il n'y a pas grand-chose à dire. Mais une partie du mérite revient aux mathématiques elles-mêmes, pour avoir fourni des modes de pensée, des échafaudages cognitifs et des processus de raisonnement qui rendent possibles les accès de brillance. C'est la méthode même qui avait tant d'estime pour Descartes et Leibniz, et son étude devrait être une source de fascination sans fin. La philosophie des mathématiques peut nous aider à comprendre en quoi les mathématiques en font un moyen de cognition si puissant et efficace, et comment elles étendent notre capacité à connaître le monde qui nous entoure.
En fin de compte, les mathématiques et les sciences peuvent s'embrouiller sans philosophie académique, avec un aperçu, des conseils et une réflexion venant de praticiens réfléchis. En revanche, la pensée philosophique ne fait de bien à personne si elle n'est pas appliquée à quelque chose qui mérite réflexion. Mais la philosophie des mathématiques nous a bien servi dans le passé, et peut le faire à nouveau. Nous devons donc placer nos espoirs sur la prochaine génération de philosophes, dont certains ont commencé à retrouver le chemin des questions qui comptent vraiment, en expérimentant de nouvelles méthodes d'analyse et en accordant une plus grande attention à la pratique mathématique. Le sujet a encore une chance, tant que nous nous souvenons des raisons pour lesquelles nous nous soucions tant de lui.
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